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    第52章    數(shù)學城（4）

    同志們，今天是數(shù)學城的奠基儀式，許多人問我為什么要選擇今天這個日子來舉行這個儀式，我今天可以告訴大家答案，因為210年前的今天，一個意大利人出生了，這個意大利人叫皮亞諾，他是一個偉大的人，如果沒有他，在座的許多人也許沒有資格坐在這里。

    為什么要這樣說呢？因為樹高千尺根深在沃土。我們的數(shù)學水平不管有多高，我們的第一節(jié)數(shù)學課還記得嗎？教的是什么？不就是1+1=2嗎？1+1=2構(gòu)建了我們最基礎(chǔ)的數(shù)學知識。但是我自己到了很久很久以后才知道這個1+1=2其實并沒有那么簡單。因為這要從皮亞諾公理開始說起。

    1889年，在數(shù)學家戴德金工作的基礎(chǔ)上，皮亞諾在《用一種新方法陳述的算術(shù)原理》一書中提出了一個算術(shù)公理系統(tǒng)，這個公理系統(tǒng)有九條公理，其中四條是關(guān)于“相等”的，五條是刻畫數(shù)的，并且以1而不是0作為基本概念。在后來的著作中，皮亞諾對這一算術(shù)系統(tǒng)作了修改，去除了關(guān)于“相等”的四條公理，并且以0取代1作為基本概念，構(gòu)造了沿用至的皮亞諾算術(shù)公理系統(tǒng)。

    人類對數(shù)學的認識其實原始社會就開始了。到了皮亞諾那個時代，數(shù)學大廈其實已經(jīng)很高了。但是皮亞諾發(fā)現(xiàn)這座數(shù)學大廈的基礎(chǔ)還需要加固。于是他總結(jié)先人的成就，加上自身的見解，還有同事的意見，建立了皮亞諾算術(shù)公理系統(tǒng)。

    雖然描述這套公理體系的數(shù)學語言發(fā)生過不少變化，但這套體系本身一直延用至今。根據(jù)這個建立在公理基礎(chǔ)之上的自然數(shù)體系，通過引入減法可以得到整數(shù)系，再引入除法得到有理數(shù)體系。隨后，通過計算有理數(shù)序列的極限（由數(shù)學家康托提出）或者對有理數(shù)系進行分割（由戴德金提出）得到實數(shù)系。這一套公理化實數(shù)體系連同同時期魏爾斯特拉斯在微積分分析化過程中的貢獻（例如極限定義中的ε-δ語言）一道，使得早已被人類應(yīng)用兩百多年的微積分學能建立在一個堅實的基礎(chǔ)上。

    我，還有在座的大多數(shù)，都是這個公理系統(tǒng)的受益者。如果沒有這個公理系統(tǒng)我們將難以學會微積分。

    注

    皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下：

    1    1是自然數(shù)；
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