由0是自然數引發的思考論文
隨著九年義務教育小學數學教材（試用修訂版），把0劃歸自然數后，一些數的概念是否發生變化，引起小學了數學教師的關注。無論是在日常的教研活動，還是教師私下交流，或是因特網上的教育論壇，都有許多教師提出疑問，引發了大家的思考。
思考之一：為什么要把0劃歸自然數。
從歷史上看，國內外數學界對于0是不是自然數歷來有兩種觀點：一種認為0是自然數，另一種認為0不是自然數。建國以來，我國的中小學教材一直規定自然數不包括0。目前，國外的數學界大部分都規定0是自然數。為了方便于國際交流，1993年頒布的《中華人民共和國國家標準》（GB 3100—3102—93）《量和單位》（11—2。9）第311頁，規定自然數包括0。所以在近幾年進行的中小學數學教材修訂中，教材研究編寫人員根據上述國家標準進行了修改。即一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數。
思考之二：最小的一位數是“1”還是“0”？
0是最小的自然數，那么最小的一位數是“1”還是“0”？在0沒有歸入自然數以前大家都很清楚，最小的一位數是1。那么，現在0也成為自然數了，最小的一位數還是1嗎？這是許多教師提出的疑問，筆者認為最小的一位數還是1。
因為，0表示一個物體也沒有，在記數法中是表示空位的一個符號，如3005里“0”就分別表示這個數的十位、百位、都是空位。這次調整雖然將“0”劃歸自然數，然而對幾位數的概念并沒改變。關于“幾位數”是這樣定義的“只用一個有效數字表示的數，叫做一位數，只用兩個有效數字，其中左邊第一個數字是有效數字來表示的數就叫做兩位數……”假設0也算作一位數的話，那么最小的兩位數是“10”還是“00”呢？那么最小的三位數、四位數……又是多少呢？
《九年義務教育六年制小學數學第八冊教師教學用書》第98頁“關于幾位數”是這樣敘述的：“通常在自然數里，含有幾個數位的數，叫做幾位數。例如，2，含有一個數位的數，叫做一位數；30含有兩個數位的數，叫做兩位數；405含有三個數位的數，叫做三位數……但是要注意：一般不說0是幾位數。
所謂最大的幾位數，最小的幾位數，通常也是在非零自然數有范圍來說。所以，最大一位數是9，最小一位數是1；最大兩位數是99，最小兩位數是10；最大三位數是999，最小三位數是100……”
綜上所述，“0”雖然是最小的自然數，但仍然不能稱為“一位數”，更不能稱為最小的一位數。
思考之三：自然數的計數單位還是“1”嗎？
大家都知道，0是自然數中最小的一個。0加1得1，1加1得2 ，2加1得3，……這樣繼續下去可以得到任意一個自然數。而從自然數的排列順序可知，后面一個自然數比前面一個自然數多1。因此，任何一個自然數都是由若干個1合并而成，所以1是自然數的單位。0可以看成是由0個1組成的自然數。
思考之四：0是其它非零自然數的倍數嗎？
《九年義務教育六年制小學數學》第十冊中，關于“數的整除”及“約數和倍數”的定義并未做任何改變，教材第54頁就有這樣的敘述：“因為0也能被2整除，所以0也是偶數”。以此類推，0能被所有非零自然數整除，根據約數倍數的定義，0是任何非零自然數的倍數，任何非零自然數都是0的約數。但考慮到研究分解質因數、最大公約數、最小公倍數時，一般限于非零自然數范圍內，如講最小公倍數時，是把0排除在外的。為此，《九年義務教育六年制小學數學》第十冊50頁明確指出：“為了方便，以后在研究約數和倍數時，我們所說的數一般不包括0”。這樣就避免了一些不必要的麻煩。但過去的一些說法就必須加以糾正了。例如：“一個自然數的最小倍數是它本身”、“自然數的約數的個數是有限的”等，這樣的結論必須糾正。
思考之五：0是不是合數？
過去，在教學中，關于自然數的組成，有兩種情況：一是所有奇數和所有的偶數組成自然數集合；二是所有的質數與所有的合數及1也組成自然數集合。現在0也成為了自然數集合的一員，因而有許多教師提出這樣的.問題：0是不是合數？
前面已經談過了，以后“在研究約數和倍數時，我們所說的數一般不包括0”，但作為一種學術研究，進行探討也未嘗不可。筆者以為，0的約數有無數個，根據《九年義務教育六年制小學數學》第十冊中關于合數的定義：“一個數，如果除了1和它本身還有別的約數，這樣的數叫做合數。”似乎應該把0劃歸為合數范圍，但仔細一想0是個特殊的自然數，因為所有非零自然數都有“本身”這個約數，如，1是1的約數，2也是2的約數……，而0這個自然數恰恰少了“本身”這個約數，因此，也不能歸為合數。試想：假設如果0是合數，那么它能用質因數相乘的形式表現出來嗎？這就與“每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式”產生了矛盾。所以，我主張把0劃歸為“既不質數，也不是合數”范圍。當然了，這需要權威機構和專家們的認定。但我認為，目前在沒有明確0是不是合數的情況下，還是以回避為好。
思考之六：“任何相鄰的兩個自然數是互質數”對嗎？
0沒有成為自然數時，這一結論毫無疑問是正確的。現在0也是自然數，我們只要研究“0和1”這兩個相鄰的自然數是不是質數，就行了。根據《九年義務教育六年制小學數學》第十冊中關于互質數的定義：“公約數只有1的兩個數，叫做互質數。”筆者認為，0的約數有無數個，而1的約數只有一個，那就是它本身。綜上所述，0和1的公約數只有“1”，因此，0和1是互質數。自然，“任何相鄰的兩個自然數是互質數”這個結論也是正確的。
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