第53章    數學城（5）

    同時，皮亞諾的另一個貢獻也是大大加強了我們的數學基礎，那就是符號邏輯學。

    有一首古老的英語民歌，描述走出野蠻的人類最常做的三件事：

    ***reading，讀啊!

    writing，寫啊！

    rithmetic，算啊！***（摘自丹齊克著《數科學的語言》第16頁）

    這三個最普通的人類行為，都和各個人群所使用的自然語言相關。而算啊！通常就是指的算術運算。這就把我們引向了算術，引向了數學家對于算術基礎的研究。剛剛接觸過德國的戴德金，現在，我們的算術旅程向東進發，從德國移向意大利，從德國的戴德金東行至意大利的數學家皮亞諾。

    皮亞諾的算術理論，看他的那本《用新方法呈現的算術原理》一文，他給出了一套約定符號。皮亞諾的這個符號約定，把我的思路發散開了。如開首的那幾句短詩，“讀啊！寫啊！”所言，這讀的寫的，常常不就是各自的母語，各種各樣的自然語言么？我從算術的語言，很自然地想到了自然語言。

    自然語言，包括其文字，其實就是一個約定，自然語言無非是某個共同地域人群，通過約定俗成而用于溝通的工具。無論哪一種自然語言，都是長時期不斷通約的結果。到了近現代，國家權力與民族認同的需要，就出現周有光老先生談論世界范圍內的語言文字時，所言的諸多情形：

    ***新興國家要求創制文字，多民族國家要求調整文字，文字不適用的國家要求改革文字，國際團體和國際會議要求規定公用文字。***（周有光《世界文字發展史》第21頁）

    這樣，語言文字，因權力的參與而需要的約定就更多了。只要是語言文字，也就一概具有“公共”“公用”“共享”的意義在內。由此，因公共圈地的范圍不同，而語言文字也就各不相同。周先生沒有提到科學家所創制的語言文字，他僅就國家層面討論自然語言的文字通約。如果把語言文字的范圍放得更寬一些，近現代科學的符號體系，其實也是語言的范疇，就像人們把數字看作是科學的語言那樣。皮亞諾為算術引入的一套符號結構，不就是一套算數語言么？不過，這個語言需要自然語言在其中同時參和才行，這就如同計算機語言一樣，在自然語言基礎上構造的計算機語言，才是人們可以理解的專業語言。

    第一皮亞諾給最普通的算術做了一套符號語言。這個前面已經說了。不再贅述。

    我要重點說的是第二：皮亞諾算術原理中的兩個符號圖表：邏輯的，算術的，還有關系的等等。

    人類創造了近乎萬種的自然語言，習用某種自然語言，就是去遵守某種語言約定。但從自然語言延伸到專業化的人工語言，你至少得遵守兩重約定，一是自然語言的約定。你總是用自然語言來解釋那些符號。你還還需要遵守進一步的約定，那個系統語言本身的約定。依據數學系統的本性，數學需要精準，自然語言卻總是模糊多義，歧義連連，受到種種內外環境的制約。因此，這就總是引誘學者要想辦法去掉自然語言的這個毛病，弗雷格的概念語言起源于此，皮亞諾的算術語言，這大概也是一個重要誘因。你要保證一個數學系統的協調一致，對于表達數學觀念的字符，一定得需要相對精準的語詞含義。其實這也有點公理的意味，大家約定好這個符號是個什么意思，就得遵守這個約定，不要超越這個約定的含義。所以，公理是大家都認可，無需證明就得集體遵守的規矩。

    而符號的約定呢，也是一個公字，且稱之為公約，大家全都約定要遵守的東西。

    皮亞諾的符號約定，相當于自然語言的詞典基本詞匯。

    有了基本詞匯，然后就有了后面的那些句子，以及更多的派生詞匯。（摘自《皮亞諾的算術，符號創造還是發現？過客與生命之樹———讀皮亞諾之二》）

    (本章完)